低秩矩阵与张量补全问题及其应用

Abstract

矩阵和张量是现实世界数据的一种自然表达形式。例如，灰度图像可以表示为矩阵；彩色图像和灰度视频可以表示为三阶张量；彩色视频可以表示为四阶张量。由于传感器故障和传输损耗等原因，数据值缺失是数据分析过程中经常面临的问题。这些问题可以表述为一个缺失值估计问题，例如地震数据重建、图像和视频恢复、医学图像处理等等。故如何从不完整数据中恢复出原始的矩阵和张量数据是本文的研究重点。 首先，我们研究了低秩矩阵最小化问题，其中损失函数是凸函数但不是光滑函数，惩罚项为矩阵的秩。为求解该问题，本文引入了一个连续松弛模型且定义了它的一类提升稳定点。同时，证明了松弛问题的任意局部极小值点都是提升稳定点。此外，还证明了提升稳定点的奇异值具有下界性质，因而松弛问题的局部极小值点的奇异值也具有下界性质。进一步，通过该性质证明了提出的连续松弛模型为一个精确的松弛模型，即原问题与松弛问题有相同的全局极小值点和相同的最优值。对该松弛问题我们提出了光滑邻近梯度（SPG）算法，且证明了SPG算法生成序列的任何聚点都是松弛问题的一个提升稳定点。数值实验表明所提出的方法优于其他所比较的方法。 其次，我们研究了低秩矩阵与张量补全问题。对于低秩矩阵补全问题，为了提升算法效率，本文建立了矩阵秩和张量tubal秩之间的关系，然后将矩阵补全问题转化为张量补全问题。对于重构的张量补全问题，我们采用基于张量分解算法的两阶段策略，从而可通过一些较小规模的矩阵计算来解决大规模的矩阵补全问题。对于三阶张量补全问题，为了充分利用张量的低秩结构，我们引入了double tubal秩，它结合了tubal秩和模3展开矩阵的秩。在此基础上，我们建立了一个新颖的张量补全模型并改进了基于张量分解的张量补全算法，同时给出了算法的收敛性。大量的数值实验表明，所提出的模型与算法在准确性和运行时间方面都优于其他所比较的方法。

Quan Yu

PhD student

My research interests include low rank tensor optimization, image processing and machine learning.